题目：
单位根反演主要就是有
\( [k|n] = \frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{k-1}w_{k}^{i*n} \)
如果 k | n ，转 n 下就会是 1 ；不然用等比数列求和公式可知是 0 。
一般是构造一个 \( f(x) = ( 1+x )^n \) 之类的，来求含有组合数的式子。比如
\( \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i*k} = \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}[ i | k ] \)
\( = \frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\sum\limits_{j=0}^{k-1}w_{k}^{j*i} \)
\( = \frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}w_{k}^{j*i} \)
\( = \frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}(1+w_{k}^{j})^n \)
所以设 \( f(x) = ( 1+x )^n \) ，求 k 次 \( f( w_{k}^{j} ) \) 就行。
对于这道题，为了凑一个二项式的形式，把 \( F[i] \) 看作斐波那契递推矩阵 A 的 \( A^{i}[0][0] \) ，就有
\( ans = \frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}A^{i}w_{k}^{j*i} \)
有两个 i 次却没有 n-i 次，不能直接套。那个 \( w_{k}^{j*i} \) 的 \( w_{k}^{j} \) 与 i 无关，所以设 \( f(x) \) 的时候考虑把 \( w_{k}^{j} \) 作为 \( x \) 。
如果 \( f(x) = ( A+I*x )^n \) ，那么 \( f( w_{k}^{j} ) = \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}A^{i}w_{k}^{j*(n-i)} \)
想把 \( w_{k}^{j*(n-i)} \) 变成 \( w_{k}^{j*i} \) ，只要令 \( f(x) = x^{-n} ( A+I*x )^n \) ，然后求 \( f( w_{k}^{-j} ) \) 即可。
注意 n 是 long long 。
找原根是枚举 phi( mod ) 的质因子，然后看 \( g^{\frac{phi(mod)}{pri}} \) 。
#include#include #include #define ll long longusing namespace std;const int N=2e4+5,K=35;ll n;int k,mod,g,wn;void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:0;}int pw(int x,int k){ int ret=1;while(k){ if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}void fnd_g(){ int pri[K],cnt=0,p=mod-1,d=p;////p=phi(mod)=mod-1!! for(int i=2;i*i<=d;i++) if(d%i==0) {pri[++cnt]=i;while(d%i==0)d/=i;} if(d>1)pri[++cnt]=d; for(g=2;;g++) { bool flag=1; for(int i=1;i<=cnt;i++)if(pw(g,p/pri[i])==1){flag=0;break;} if(flag)break; }}struct Mtr{ int a[2][2]; Mtr(){memset(a,0,sizeof a);} Mtr operator* (const Mtr &b)const { Mtr c; for(int i=0;i<=1;i++) for(int k=0;k<=1;k++) for(int j=0;j<=1;j++) c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(ll)a[i][k]*b.a[k][j])%mod; return c; }}A,I;Mtr pw(Mtr x,ll k)//ll!!!{Mtr ret=I;while(k){ if(k&1)ret=ret*x;x=x*x;k>>=1;}return ret;}int main(){ A.a[0][0]=A.a[0][1]=A.a[1][0]=1; I.a[0][0]=I.a[1][1]=1; int T;scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%lld%d%d",&n,&k,&mod);fnd_g(); int ans=0,wn=pw(g,(mod-1)-(mod-1)/k),ml=(mod-1-n%(mod-1))%(mod-1); for(int i=0,w=1;i